Brincando com os números

O educador brasileiro Malba Tahan publicou, em 1962, uma obra em dois volumes intitulada Didática da Matemática, na qual discute várias questões relativas ao ensino desta cátedra. Por exemplo: a relação da matemática com as outras ciências, os fatores que interferem em sua aprendizagem, o método heurístico, o papel do laboratório e dos jogos e recreações no seu ensino. Segundo Malba Tahan, qualquer que seja o método adotado pelo professor, o jogo pode figurar entre as atividades mais úteis à aprendizagem, particularmente porque se trata de uma atividade que desperta “alto coeficiente de interesse”, seja pela forma curiosa como são enunciadas, seja pela maneira arguta como são resolvidas. Logo, é importante que o professor procure praticar em sala jogos que interessem e agradem aos alunos.

O sudoku é um jogo que pode despertar interesse dos adolescentes. É raro um professor de matemática que não tenha se deparado com alguns de seus alunos resolvendo um sudoku ou lhe inquirindo sobre estratégias de resolução. Algo parecido com o que também acontece com o cubo mágico. O sudoku é um jogo que traz em si uma série de elementos próprios da matemática como: estratégia de resolução, desenvolvimento lógico, cálculo mental, levantamento de hipóteses, persistência e validação, entre outros. Além disso, como jogo, permite certas dinâmicas de competição e cooperação. Para os autores dos PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais), o aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver. O presente artigo visa discutir uma possibilidade do uso do sudoku em sala de aula de matemática, partindo de sua concepção mais simples que é a dos quadrados mágicos.

O quadrado mágico A palavra diagrama é de origem grega (diágramma, atos) que significa “o que se representa por desenho ou forma escrita”. Podemos imaginar que todo diagrama matemático é composto de três aspectos: o aritmético, o geométrico e o algébrico. A linguagem aritmética, o cálculo operacional, está expresso no diagrama diretamente pelos números e suas operações. A linguagem geométrica se refere à forma e se manifesta na posição que estes números ocupam na figura retangular, ocupan¬do posições entre linhas e colunas que guardam entre si uma determinada lógica. Já a linguagem algébrica pode não ser visível imediatamente, mas ela está presente nos possíveis valores numéricos que cada lacuna do diagrama pode ter, respeitadas as regras do jogo. Ela precisa ser deduzida a partir das duas anteriores: a aritmética dá pistas sobre o processo de cálculo e a geométrica, sobre o ordenamento destes cálculos. Os antigos matemáticos chineses dedicaram-se de maneira especial aos estudos e trabalhos com diagramas. Mas sua motivação inicial associava a matemática ao mito e à magia.

Na mitologia chinesa, a tartaruga é um animal enigmático que guarda os segredos do céu e da terra. A forma de seu casco representa a abóboda celeste, e o seu peitoral, plano e quadrado, a terra. Os 24 recortes do casco simbolizam os vinte e quatro períodos do calendário agrícola e sua longevidade simboliza sua solidez. Foi assim que, conta a mitologia, uma tartaruga surgiu das águas do Huang-He (Rio Amarelo) para o imperador Yu-Huang (2800 a.C.), da dinastia Hsia, quando este, sentado às suas margens, buscava uma solução para as catástrofes oriundas às enchentes daquele rio. Atento, observou que o animal trazia em seu casco um diagrama dividido em nove partes, cada uma delas com determinada quantidade de pontos, de acordo com o sistema de numeração chinês na época. A partir deste diagrama foi traçado um quadrado considerado mágico (Lo Shu), pois nele havia uma relação numérica na qual a soma dos números em cada linha, coluna ou diagonal sempre dava o mesmo resultado: 15, o número de dias que a Lua Nova leva a tornar-se Lua Cheia. Desta forma, um quadrado é mágico quando as somas de cada linha, coluna ou diagonal resulta o mesmo número chamado constante mágica. Quadrados latinos Quase 4,5 mil anos após sua aparição na China, associando magia e ciência, o quadrado mágico se insere como objeto de estudo matemático, servindo de modelo para a resolução de alguns determinados tipos de problemas.O matemático suíço Leonard Euler (1707-1783) foi um dos mais talentosos de todos os tempos e construiu grande fama ao propor e resolver uma série de problemas, entre o quais destacamos o seguinte, pelas próprias palavras de Euler: “Um problema bastante curioso, que pôs à prova durante muito tempo a sagacidade de muita gente, levou-me às investigações seguintes, que parece terem aberto nova via na análise e em particular na doutrina das combinações. Esse problema diz respeito a uma assembleia de trinta e seis oficiais de seis patentes diferentes pertencentes a seis regimentos diferentes; trata-se de os dispor num quadrado de modo que em cada linha, quer horizontal, quer vertical, encontrem-se seis oficiais de patentes e regimentos diferentes. Ora, depois de todos os esforços feitos para resolver o problema, somos obrigados a reconhecer que tal disposição é absolutamente impossível, se bem que não se possa dar uma demonstração rigorosa.”

Como em outros problemas importantes da matemática deixados como conjecturas, este somente foi demonstrado tempos depois, necessitando, para isso, de novos conceitos e métodos modernos da matemática. Isto se deu em 1959, quando os matemáticos Parker, Bose e Shrikhande demostraram que este problema não tem solução quando se consideram 36 oficiais, mas para outras quantidades, como 9, por exemplo, teria solução.

O importante aqui a se considerar é que na busca da interpretação e solução desse problema, Euler criou o que chamou de “quadrado latino”, por ter usado letras do alfabeto latino como símbolos. Trata-se de um quadrado de ordem n, isto é, n linhas e n colunas, preenchidas com n símbolos de tal forma que cada um aparece no máximo uma vez em cada linha ou coluna (fila ortogonal), como mostrado nos exemplos abaixo:

O sudoku
Mergulhado na tradição mágica, artística e matemática, o sudoku, que significa, em japonês, número único, tornou-se uma diversão lógico-numérica popular por ter regras simples e exigir conhecimento das operações básicas. Criado em 1979 pelo americano Howard Garns, foi aperfeiçoada pelo especialista em quebra-cabeça japonês Nobuhiko Kanamoto. Tem como grande mérito a combinação entre a estrutura dos quadrados mágicos com as regras do quadrado latino.

O jogo consta de uma matriz composta de nove quadrados (divididos em 9 partes como os quadrados mágicos) dispostos em três linhas e três colunas. Algumas “células” já contêm números, denominadas pistas. O objetivo do jogo é completar todos os quadrados, utilizando números de 1 a 9, sem que os números se repitam nas filas ortogonais.

Um barril de pólvora chamado Brasil

Entre as obras lançadas na Feira do Livro do Rio de Janeiro em 2008, um quase despretensioso livro sobre a vinda da corte portuguesa ao Brasil 200 anos antes reacenderia o debate sobre a pesquisa histórica no Brasil. Apesar – ou justamente por isso – da fama de não conhecer a própria história, o brasileiro colocou a obra entre as mais vendidas em pouco tempo. O livro era o 1808, e o autor, o jornalista Laurentino Gomes. Os 600 mil exemplares vendidos levaram Gomes a se dedicar exclusivamente à divulgação da obra e pesquisa para o próximo livro, 1822, desta vez sobre a Independência brasileira. Lançado no fim do ano passado, repetiu o sucesso e reacendeu um debate entre acadêmicos. Além de ser escrita por alguém de fora da academia, Laurentino mistura a macroestrutura da época com histórias curiosas dos personagens principais. A história do País estava sendo banalizada? “Eu vulgarizo a História, mas não a banalizo. Tiro da linguagem acadêmica e a conto de um jeito agradável”, diz.

Nesta entrevista ao jornalista Fernando Vives, regada a capuccino em uma padaria do bairro de Perdizes, em São Paulo, Laurentino Gomes fala sobre 1822, o desafio de tornar a história palatável ao público não acadêmico, as dificuldades de se fazer pesquisa no País e rebate os críticos de  sua obra.

Carta na Escola: O senhor era um jornalista que tinha apenas curiosidade pela História. Como surgiu a ideia de falar sobre 1808, e depois de 1822?
Laurentino Gomes: Bem, fui jornalista durante quase 30 anos e o jornalismo e a história são vizinhos. O jornalista testemunha e narra história todos os dias, enquanto o historiador tem um olhar mais distanciado, com mais metodologia e profundidade. Em 1997, surgiu uma oportunidade: eu era editor da revista Veja e havia um projeto especial sobre a história do Brasil – um deles sobre a vinda da corte portuguesa ao Rio de Janeiro. O projeto foi cancelado, mas continuei. Lancei o livro em 2007 pensando na efeméride do ano seguinte, e aí aconteceu o que não imaginava: um livro sobre história do Brasil virou best seller. Então tomei uma decisão arriscada: deixar a Editora Abril, onde trabalhei por 22 anos, para seguir carreira por conta própria, dedicando-me à divulgação do 1808. Fiz bate-papos com leitores, palestras, aulas em escolas, feiras literárias e vi uma demanda: completar essa história. Eu tinha contado o cenário que preparou a Independência do Brasil, faltava contar essa parte. E já estou pensando em fechar uma trilogia, que é 1889, a Proclamação da República. São as três datas ícones da construção do Estado brasileiro do século XIX, a época em que foram lançadas as bases do Brasil que temos hoje.

CE: O que mudou na sua concepção de dom Pedro I após este livro?
LG: Bem, antes eu estava repleto de preconceitos. No 1808, eu tinha a imagem de um dom João abobalhado, incapaz de tomar decisões. Para um jornalista isso é fascinante, mas havia mais além da caricatura. No 1822, isso aconteceu também. Tinha duas imagens de dom Pedro I. Uma é a de Tarcísio Meira no filme Independência ou Morte (de Carlos Coimbra, de 1972), um herói do regime militar, épico. Segundo, o do Marcos Pasquim na série O Quinto dos Infernos (Rede Globo, 2002), mulherengo e inconsequente. Descobri que nem era uma coisa nem outra, apesar de haver os dois elementos. Quando se olha ao passado, tem-se a impressão de que quem fez a História tinha amplo leque de opções. Não é bem assim. Descobri um documento no qual dom Pedro I defendia de forma categórica o fim da escravatura no Brasil. José Bonifácio iria apresentar à Constituinte de 1822-1823 também um projeto para abolir o tráfico negreiro. Então, se o imperador e o seu principal ministro queriam o fim da escravidão, por que não acabou? Porque não tinha como acabar. Então, pesquisar para esse livro me tornou um pouco mais generoso na avaliação dos personagens, sem ser leniente. Não absolvo dom Pedro I, mas por trás do imperador havia um ser com fragilidades muito humanas.

CE: E isso não é uma imagem comum nos livros de História.
LG: No estudo da História do Brasil, vejo dois momentos muito distintos: no fim do século XIX, uma construção dos heróis nacionais, com pouca luz da vida pessoal deles. Depois, no século XX, temos uma escola influenciada pelo marxismo que se dedica à macroestrutura, à história como choque de interesses. As pessoas desaparecem em ambos. A Formação Econômica do Brasil, do Caio Prado Júnior, é uma contribuição inestimável, mas não tem gente de carne e osso ali. Acho que hoje superamos esse momento maniqueísta. Meu olhar é jornalístico, não acadêmico, então queria mostrar as circunstâncias do mundo no momento, mas também dos personagens.

CE: O senhor atribui muita importância aos personagens de José Bonifácio e da imperatriz Leopoldina no livro. Por que eles são tão fundamentais?
LG: Eles exercem papéis simbólicos pelo sobrenome que traziam e o cargo que ocupavam. Dom Pedro era um jovem príncipe de 22 anos que dom João deixa no Brasil para governar um território 93 vezes maior que Portugal. E ele tinha zero de experiência política. Bonifácio era um homem muito experiente, morou 36 anos na Europa, viu a Revolução Francesa nas ruas de Paris. Ao chegar ao Brasil, tem um papel quase paternal com dom Pedro. O Brasil que emerge das margens do Ipiranga tem a assinatura de José Bonifácio, que percebeu que um Brasil grande, isolado, de províncias rivais, só se manteria unido através de uma monarquia constitucional nas mãos do herdeiro português. E ele tem apoio da princesa Leopoldina, mulher de Pedro, educada na corte de Viena, a mais ilustrada da época, e tinha uma noção política muito boa do que acontecia no mundo. Leopoldina converte-se às causas da Independência brasileira. Após 7 de Setembro, dom Pedro fez viagens para pacificar o País e é ela quem formaliza a Independência do Brasil, e depois se empenha pelo reconhecimento do novo país junto às monarquias europeias, dominadas por parentes dela. O Primeiro Reinado desaba definitivamente numa crise política que acaba com a abdicação ao trono em 1831, quando esses dois personagens saem de cena.

CE: No livro, quando o senhor afirma que o Brasil tinha tudo para não dar certo, mas deu, de que exatamente estava falando?
LG: Eu me referia às circunstâncias do Brasil na véspera da Independência. O que é dar certo ou errado na vida de um país? Difícil responder. No caso, seria um Brasil grande, integrado. A maior possibilidade era de que se fragmentasse, como ocorreu na América espanhola. Numa hipótese mais grave, numa guerra étnica entre escravos e brancos. As províncias tinham pouca comunicação entre si, 80% da população era analfabeta, de cada três brasileiros, um era escravo. O País estava falido, pois a corte, ao voltar a Portugal, raspou os cofres públicos. Os perigos eram tão grandes que a elite brasileira preferiu se unir em torno do herdeiro da coroa portuguesa em regime monárquico porque, se não acontecesse isso, poderia haver uma guerra étnica. O Brasil se manteve unido mais por suas fragilidades que por suas virtudes. Então o Brasil que surge em 1822 é um país que vai adiando outras soluções, o que conhecemos bem até hoje.

CE: O 1822 foi pesquisado e lançado em Portugal e no Brasil. Que diferenças dos fatos e personagens históricos o senhor encontrou entre os dois países?
LG: Brasil e Portugal, a rigor, compartilham a mesma história até 7 de abril de 1831, quando dom Pedro abdica do trono e tem-se a nacionalização da Independência brasileira. Até então, era a mesma lei e a mesma constituição. Curiosamente, porém, as visões desse período são completamente diferentes dos dois lados do Atlântico. Brasileiros e portugueses desconhecem o que aconteceu no outro país. Fui lançar meu livro em Portugal, e lá eles não faziam a menor ideia do que ocorreu em 1822. Não sabem que o dom Pedro IV deles era o mesmo dom Pedro que proclamou a Independência do Brasil.

CE: Fazer pesquisa histórica no Brasil é difícil?
LG: Muito. Não faço pesquisa primária, só narrativa secundária, ou seja, leio o que outros historiadores falaram sobre o assunto e confronto as versões, e vou aos locais onde as coisas aconteceram. No Brasil, as bibliotecas estão sucateadas, arquivos não catalogados ou abandonados. A pesquisa histórica no Brasil ainda está por acontecer. Existe outra frente pouca realizada, que é a história regional. A história nacional avançou mais, mas existem pedaços que só podem ser observados na perspectiva da região. Faltam incentivo e determinação em se fazer pesquisa por aqui.

CE: Críticos do seu trabalho dizem que o senhor trata da História de maneira superficial. Como interpreta isso?
LG: Dependendo de como é feita, às vezes considero até um elogio. Um crítico disse que eu vulgarizo a história do Brasil, que é de fato o que faço. Eu torno esse conhecimento acadêmico, quase criptografado, e decodifico usando a experiência que adquiri no jornalismo. Toda vez que um jornalista faz uma reportagem, ele se obriga, por treinamento, a ser didático. Mas veja: existe uma linha muito tênue que não me permite ficar só na superfície nem me aprofundar muito. Tento usar uma linguagem provocativa de capa, para chamar a atenção do leitor leigo, mas, se ficar só nisso, fica banal, mero entretenimento. E tenho de fazer direito, respeitando as fontes, os leitores e a pesquisa.

CE: O senhor crê que existe, em parte, certo “ciúme” de alguns historiadores pelo fato de alguém de fora se aventurar nessa área?
LG: Sim, existe uma reação corporativista, mas de uma parte mais medíocre da academia. Agora, tive resenhas muito boas de historiadores como Lilian Schwarcz, Mary del Priore, João Marcel Carvalho França e Elias Tomé Saliba, entre outros. Eles entenderam o que estou fazendo. Não estou competindo, e sim fazendo um trabalho de divulgação científica, que é bom para eles. Professores de História estão adorando esses livros, o ciúme vem mais da academia mesmo.

CE: O senhor fez uma espécie de making-off nas redes sociais enquanto fazia o livro. O que conseguiu tirar dessa experiência?
LG: Isso é uma lição que o novo jornalismo praticado hoje me deu, que é ter uma cabeça multimídia. Não vamos atingir toda a audiência possível usando só um único formato. Estou no Orkut, Twitter e Facebook, além de dar aulas e palestras. Interajo muito com o público também durante a pesquisa. É quase como um reality show. Exemplo: no 1822, coloquei que José Bonifácio morreu na Ilha de Paquetá. Um tuiteiro especializado em José Bonifácio me informou que ele morreu em Niterói. Vou corrigir na próxima edição. Há uma rede de especialistas nessas comunidades. Se você consegue chegar até eles adequadamente, eles acompanham o seu trabalho e te divulgam.

Assembleia na Carpintaria

Contam que na carpintaria houve uma vez uma estranha assembleia.
Foi uma reunião de ferramentas para acertar suas diferenças.
Um martelo exerceu a presidência, mas os participantes lhe notificaram que teria que renunciar. A causa? Fazia demasiado barulho; e além do mais, passava todo o tempo golpeando.
O martelo aceitou sua culpa, mas pediu que também fosse expulso o parafuso, dizendo que ele dava muitas voltas para conseguir algo.
Diante do ataque, o parafuso concordou, mas por sua vez, pediu a expulsão da lixa.
Dizia que ela era muito áspera no tratamento com os demais, entrando sempre em atritos.
A lixa acatou, com a condição de que se expulsasse o metro que sempre media os outros segundo a sua medida, como se fora o único perfeito.
Nesse momento entrou o carpinteiro, juntou o material e iniciou o seu trabalho. Utilizou o martelo, a lixa, o metro e o parafuso.
Finalmente, a rústica madeira se converteu num fino móvel.
Quando a carpintaria ficou novamente só, a assembleia reativou a discussão.
Foi então que o serrote tomou a palavra e disse:
- Senhores, ficou demonstrado que temos defeitos, mas o carpinteiro trabalha com nossas qualidades, com nossos pontos valiosos. Assim, não pensemos em nossos pontos fracos, e concentremo-nos em nossos pontos fortes.”
A assembleia entendeu que o martelo era forte, o parafuso unia e dava força, a lixa era especial para limar e afinar asperezas, e o metro era preciso e exato.
Sentiram-se então como uma equipe capaz de produzir móveis de qualidade. Sentiram alegria pela oportunidade de trabalhar juntos.
Ocorre o mesmo com os seres humanos. Basta observar e comprovar.
Quando uma pessoa busca defeitos em outra, a situação torna-se tensa negativa; ao contrario, quando se busca com sinceridade os pontos fortes dos outros, florescem as melhores conquistas humanas.
É fácil encontrar defeitos, qualquer um pode fazê-lo.
Mas encontrar qualidades… Isto é para os sábios!